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En la naturaleza y en la vida social existen numerosos fenómenos que se rigen por leyes de crecimiento exponencial. Tal sucede, por ejemplo, en el aumento de un capital invertido a interés continuo o en el crecimiento de las poblaciones. En sentido inverso, también las sustancias radiactivas siguen una ley exponencial en su ritmo de desintegración para producir otros tipos de átomos y generar energía y radiaciones ionizantes.
Funciones exponenciales
Se llaman así a todas aquellas funciones de la forma f(x) = ax, en donde la base a, es una constante y el exponente la variable independiente. Estas funciones tienen gran aplicación en campos muy diversos como la biología, administración, economía, química, física e ingeniería.La definición de función exponencial exige que la base sea siempre positiva y diferente de uno (a>0 y a≠1). La condición que b sea diferente de uno se impone, debido a que al reemplazar a a por 1, la función ax se transforma en la función constante f(x) = 1.
La base no puede ser negativa porque funciones de la forma f(x)=(-9)1/2 no tendrían sentido en los números reales.
El dominio de la función exponencial está formada por el conjunto de los números reales y su recorrido está representado por el conjunto de los números positivos.
La función exponencial de base dos: y=f(x)=2x
La tabla siguiente muestra algunos valores para la función de base dos.
x -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x) 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8
Para graficar esta función se localizan estos puntos en un plano cartesiano, uniéndolos con una curva suave, tal como se modela en la siguiente escena. Mueve el punto P y observa el comportamiento de la función a medida que:- x crece ilimitadamente
- x decrece ilimitadamente.
x crece ilimitadamente
x decrece ilimitadamente.
La función exponencial y = ax verifica:
La imagen de 0 siempre vale 1: a0 = 1.
La imagen de 1 siempre vale a: a1 = a.
La función es creciente si a es mayor que 1: a > 1.
La función es decreciente si a es menor que 1: a < 1.
La imagen de 0 siempre vale 1: a0 = 1.
La imagen de 1 siempre vale a: a1 = a.
La función es creciente si a es mayor que 1: a > 1.
La función es decreciente si a es menor que 1: a < 1.
La función exponencial de base 1/2
Analicemos ahora el comportamiento de la función exponencial de base 1/2. Mueve el punto P y observa el comportamiento de la función cuando x tiende a +¥ y cuando x tiene a -¥.
y=f(x)=(1/2)x
x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | ||
f(x) | 8 | 4 | 2 | 2 | 1/2 | 1/4 | 1/8 |
Las escenas anteriores permiten deducir que:
- La función exponencial existe siempre para cualquier valor de la variable independiente x.
- Toma valores positivos para cualquier valor de x.
- El dominio de la función exponencial es todo el conjunto de los números reales.
- Todas las funciones pasan por el punto (0,1).
- Las gráficas de las funciones exponenciales de la forma f(x)=ax, con a>1 son crecientes. Los valores de la función crecen cuando x aumenta.
- Las gráficas de las funciones exponenciales de la forma f(x)=ax, con 0<a<1 son decrecientes. Los valores de la función decrecen cuando x aumenta.
- El eje x es una asíntota horizontal, hacía la izquierda si a>1 y hacía la derecha si a<1.
- La definición exige que la base sea positiva y diferente de uno.
- Si a=0 la función se transforma en la función constante 0.
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
Crecimiento de poblaciones. El crecimiento vegetativo de una población viene dado por la diferencia entre nacimientos y defunciones.Si inicialmente partimos de una población P0, que tiene un índice de crecimiento i (considerado en tanto por 1), al cabo de t años se habrá convertidoen : P = P0 · (1+i)t | Ejemplo. Un pueblo tiene 600 habitantes y su población crece anualmente un 3%. • ¿Cuántos habitantes habrá al cabo de 8 años? Datos: P0 = 600 i = 3 / 100 t = 8 años P = 600 . ( 1 + 3/100)8 P = 600 . 1,266 ≈ 760 Luego de 8 años la poblacìón será de 760 habitantes. |
Interés compuesto En el interés compuesto los intereses producidos por un capital, C0 se van acumulando a éste, de tiempo en tiempo, para producir nuevos intereses. Los intervalos de tiempo, al cabo de los cuales los intereses se acumulan al capital, se llaman periodos de capitalización o de acumulación. Si son t años, r es el rédito anual (interés anual en %), el capital final obtenido viene dado por la fórmula: CF = CO . ( 1 + r/100 )t Si se consideran n periodos de tiempo, (n=12 meses , n = 4 trimestres, n=365 días,...) la fórmula anterior queda: CF = CO . ( 1 + r/ n . 100 )nt | Ejemplo Se colocan 5000 $ al 6% anual. ¿En cuánto se convertirán al cabo de 5 años? • Si los intereses se acumulan anualmente CF = 5000 . 1,065 = 6691,13 $ • Si los intereses se acumulan mensualmente CF = 5000 . ( 1 + 6/1200)12.5 = CF = 5000 . 1,00560 = CF = 6744,25 $ • Si los intereses se acumulan trimestralmente CF = 5000 . ( 1 + 6/400)4.5 = CF = 5000 . 1,01520 = CF = 6734,27 $ |
Desintegración radiactiva Las sustancias radiactivas se desintegran con el paso del tiempo. La cantidad de una cierta sustancia que va quedando a lo largo del tiempo viene dada por: M = M0·at M0 masa inicial 0<a<1 es una constante que depende de la sustancia y de la unidad de tiempo que tomemos. La rapidez de desintegración de las sustancias radiactivas se mide por el “periodo de desintegración” que es el tiempo en que tarda en reducirse a la mitad. | Ejemplo Un gramo de estroncio-90 se reduce a la mitad en 28 años, si en el año 2000 teníamos 20gr y tomamos como origen de tiempo el año 2000. • La función es: M(x) = 20 ⋅ 0,5x/28 = 20 ⋅ 0,9755x • En el año 2053 quedará: M = 20 ⋅ 0,975553 = 5,38 gr |
TALLER |
1.En un pueblo su población crece anualmente un 2%. Al cabo de 5 años su población es de 1100 habitantes. ¿Cuántos habitantes había inicialmente?
2. Si invertís $1500 en una cuenta bancaria que proporciona un 23% de interés anual a plazo fijo de 5 años. ¿Cuál es el monto que recibirás al concluir el plazo del depósito?
3. El periodo de desintegración (tiempo que tarda en reducirse a la mitad) del Carbono-14 es 5370 años. ¿En qué cantidad se convierten 10 gr al cabo de 1000 años?
Cuestionario
3. La población de un barrio en el año 2000 era de 3 000 personas. Si la tasa de crecimiento es del 2 %, ¿cuál será el número de habitantes en el 2003?
Función logarítmica
La función logarítmica de base a es la inversa de la función exponencial de base a. Los valores de la función loga se denotan como loga (x) y puesto que loga y la función exponencial con base a son inversas se puede afirmar que:
y = f(x) = loga (x) si y sólo si x = ay
El dominio de la función es el conjunto de números reales positivos y su ámbito o recorrido es el conjunto de los números reales..
1) La función f(x)=loga(x)
La siguiente escena recrea el comportamiento de la función f(x) = loga (x). Analiza el comportamiento de la función a medida que modificas los valores de x. Observa también como cambia la gráfica, a medida que modificas la base a.
Determina algunos logaritmos, por ejemplo, los logaritmos de 2, 4, 8, 16 en base dos y los logaritmos en base diez de algunas potencias de este número.
La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.
APLICACIONES
Las funciones exponenciales y logarítmicas pueden ser utilizadas para resolver y modelar algunas situaciones de la vida real. Algunas de estas situaciones son: el crecimiento de bacterias en un cultivo, el crecimiento de la población de una ciudad, el tiempo que toma un objeto para llegar a cierta temperatura, etc.
Definición de logaritmo
Siendo a la base, x el número e y el logaritmo.
Calcular por la definición de logaritmo el valor de y.
1
2
3
4
5