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En la naturaleza y en la vida social existen numerosos fenómenos que se rigen por leyes de crecimiento exponencial. Tal sucede, por ejemplo, en el aumento de un capital invertido a interés continuo o en el crecimiento de las poblaciones. En sentido inverso, también las sustancias radiactivas siguen una ley exponencial en su ritmo de desintegración para producir otros tipos de átomos y generar energía y radiaciones ionizantes.

Funciones exponenciales

Se llaman así a todas aquellas funciones de la forma f(x) = a^x, en donde la base a, es una constante y el exponente la variable independiente. Estas funciones tienen gran aplicación en campos muy diversos como la biología, administración, economía, química, física e ingeniería.La definición de función exponencial exige que la base sea siempre positiva y diferente de uno (a>0 y a≠1). La condición que b sea diferente de uno se impone, debido a que al reemplazar a a por 1, la función a^x se transforma en la función constante f(x) = 1.

La base no puede ser negativa porque funciones de la forma f(x)=(-9)^1/2 no tendrían sentido en los números reales.

El dominio de la función exponencial está formada por el conjunto de los números reales y su recorrido está representado por el conjunto de los números positivos.

La función exponencial de base dos: y=f(x)=2^x

La tabla siguiente muestra algunos valores para la función de base dos.

x -3 -2 -1 0 1 2 3

f(x) 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8

Para graficar esta función se localizan estos puntos en un plano cartesiano, uniéndolos con una curva suave, tal como se modela en la siguiente escena. Mueve el punto P y observa el comportamiento de la función a medida que:
x crece ilimitadamente

x decrece ilimitadamente.

y = a^x ≠ 1).

La función exponencial y = a^x verifica:

La imagen de 0 siempre vale 1: a⁰ = 1.
La imagen de 1 siempre vale a: a¹ = a.

La función es creciente si a es mayor que 1: a > 1.

La función es decreciente si a es menor que 1: a < 1.

La función exponencial de base 1/2

Analicemos ahora el comportamiento de la función exponencial de base 1/2. Mueve el punto P y observa el comportamiento de la función cuando x tiende a +¥ y cuando x tiene a -¥.

y=f(x)=(1/2)^x

	x	-3	-2	-1	0	1	2	3
	f(x)	8	4	2	2	1/2	1/4	1/8

Las escenas anteriores permiten deducir que:

La función exponencial existe siempre para cualquier valor de la variable independiente x.
Toma valores positivos para cualquier valor de x.
El dominio de la función exponencial es todo el conjunto de los números reales.
Todas las funciones pasan por el punto (0,1).
Las gráficas de las funciones exponenciales de la forma f(x)=a^x, con a>1 son crecientes. Los valores de la función crecen cuando x aumenta.
Las gráficas de las funciones exponenciales de la forma f(x)=a^x, con 0<a<1 son decrecientes. Los valores de la función decrecen cuando x aumenta.
El eje x es una asíntota horizontal, hacía la izquierda si a>1 y hacía la derecha si a<1.
La definición exige que la base sea positiva y diferente de uno.
Si a=0 la función se transforma en la función constante 0.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

Crecimiento de poblaciones.

El crecimiento vegetativo de una población viene dado por la diferencia entre nacimientos y defunciones.
Si inicialmente partimos de una población P₀, que tiene un índice de
crecimiento i (considerado en tanto
por 1), al cabo de t años se habrá convertidoen :

P = P₀· (1+i)^t

Ejemplo.

Un pueblo tiene 600 habitantes y su
población crece anualmente un 3%.

• ¿Cuántos habitantes habrá al cabo
de 8 años?

Datos:

P₀= 600

i = 3 / 100

t = 8 años

P = 600 . ( 1 + 3/100)⁸

P = 600 . 1,266 ≈ 760

Luego de 8 años la poblacìón será de 760 habitantes.

Interés compuesto

En el interés compuesto los intereses producidos por un capital, C₀
se van acumulando a éste, de tiempo en tiempo, para producir nuevos intereses. Los intervalos de tiempo, al cabo de los cuales los intereses se acumulan al capital,
se llaman periodos de capitalización o de acumulación. Si son t años, r es el rédito
anual (interés anual en %), el capital final

obtenido viene dado por la fórmula:

C_F = C_O . ( 1 + r/100 )^tSi se consideran n periodos de tiempo, (n=12 meses , n = 4 trimestres, n=365 días,...)
la fórmula anterior queda:

C_F = C_O . ( 1 + r/ n . 100 )^nt

Ejemplo

Se colocan 5000 $ al 6% anual.
¿En cuánto se convertirán al cabo
de 5 años?

• Si los intereses se acumulan anualmente
C_F = 5000 . 1,06⁵ = 6691,13 $

• Si los intereses se acumulan mensualmente
C_F = 5000 . ( 1 + 6/1200)^12.5 =C_F = 5000 . 1,005⁶⁰ =
C_F = 6744,25 $

• Si los intereses se acumulan trimestralmente
C_F = 5000 . ( 1 + 6/400)^4.5=
C_F= 5000 . 1,015²⁰ =
C_F = 6734,27 $

Desintegración radiactiva

Las sustancias radiactivas se desintegran con el paso del tiempo. La
cantidad de una cierta sustancia que va quedando a lo largo del tiempo viene dada por:

M = M₀·a^t M₀ masa inicial

0<a<1 es una constante que depende de la sustancia y de la unidad de tiempo que tomemos.

La rapidez de desintegración de las sustancias radiactivas se mide por el
“periodo de desintegración” que es el
tiempo en que tarda en reducirse a la mitad.

Ejemplo

Un gramo de estroncio-90 se reduce a la mitad en 28 años, si en el año 2000 teníamos 20gr y tomamos como origen de tiempo el año 2000.

• La función es:
M(x) = 20 ⋅ 0,5^x/28 = 20 ⋅ 0,9755^x
• En el año 2053 quedará:
M = 20 ⋅ 0,9755⁵³= 5,38 gr

TALLER

1.En un pueblo su población crece anualmente un 2%. Al cabo de 5 años su población es de 1100 habitantes. ¿Cuántos habitantes había inicialmente?

2. Si invertís $1500 en una cuenta bancaria que proporciona un 23% de interés anual a plazo fijo de 5 años. ¿Cuál es el monto que recibirás al concluir el plazo del depósito?

3. El periodo de desintegración (tiempo que tarda en reducirse a la mitad) del Carbono-14 es 5370 años. ¿En qué cantidad se convierten 10 gr al cabo de 1000 años?

Cuestionario

1. ¿En cuántas partes iguales se dividirá un papel si lo doblamos por la mitad 10 veces?

20
200
1024

2. El padre de Alberto le regala a éste en su quinto cumpleaños 1 200 pesos que ingresa en una cuenta al 5 % de interés,

2500 pesos
1875,9 pesos
2262,7 pesos
2498,7 pesos

3. La población de un barrio en el año 2000 era de 3 000 personas. Si la tasa de crecimiento es del 2 %, ¿cuál será el número de habitantes en el 2003?

3 025
3 184
3 200

http://www.educar.com.co/mision/solucionarios/9/SOLUCIONARIO_LIBRO_9_UNIDAD_4.pdf

Función logarítmica

La función logarítmica de base a es la inversa de la función exponencial de base a. Los valores de la función log_a se denotan como log_a (x) y puesto que log_a y la función exponencial con base a son inversas se puede afirmar que:

y = f(x) = log_a (x) si y sólo si x = a^y

El dominio de la función es el conjunto de números reales positivos y su ámbito o recorrido es el conjunto de los números reales..

1) La función f(x)=log_a(x)

La siguiente escena recrea el comportamiento de la función f(x) = log_a (x). Analiza el comportamiento de la función a medida que modificas los valores de x. Observa también como cambia la gráfica, a medida que modificas la base a.

Determina algunos logaritmos, por ejemplo, los logaritmos de 2, 4, 8, 16 en base dos y los logaritmos en base diez de algunas potencias de este número.

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

x
1/8	-3
1/4	-2
1/2	-1
1	0
2	1
4	2
8	3

x
1/8	3
1/4	2
1/2	1
1	0
2	−1
4	−2
8	−3

APLICACIONES

Las funciones exponenciales y logarítmicas pueden ser utilizadas para resolver y modelar algunas situaciones de la vida real. Algunas de estas situaciones son: el crecimiento de bacterias en un cultivo, el crecimiento de la población de una ciudad, el tiempo que toma un objeto para llegar a cierta temperatura, etc.